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Olimpíada数学竞赛（Olimpíada Brasileira de Matemática），简称OBM，是巴西的一项全国性数学竞赛活动。这项竞赛旨在鼓励和发展学生对数学的兴趣，培养他们的创造力、解决问题的能力和数学推理能力。

第三级1.斐波那契数列被定义为 , 对于每个整数 , 有 . 设 为一个固定的整数. 如果对于所有 , 数列 满足 , 那么这个数列被称为 数列. 求所有的 数列(用 和 表示).

2.设 是一个外接于圆 , 且圆心为 的四边形. 假设 互异的两点 和 是等角共轭点, 且 和 共线. 证明 是一个风筝形, 即它有两对邻边分别相等.

3.设 为一个正整数. 在黑板上有一个圆圈, 并在其周围写有 个非负整数. 拉菲尼亚 进行一场游戏, 游戏的操作包括擦除相邻的数 、 和 , 其中 , 然后按以下规则在原地写下新的数：如果 , 则写下 , 否则写下 .

已知目标是使得黑板上的所有数都等于 . 找出所有使得 拉菲尼亚 总能达到目标的 .

4.我们说素数 是 - 的, 如果满足 , 并且对所有 , 它们在模 下都是 次剩余, 其中 . 是否存在无限多个满足条件的 , 使得存在无限多个 -的素数？

注：. 我们说整数 在模 下是 次剩余, 如果存在整数 , 使得

第二级1.设 中,于, 平分线与交于点 . 过 作其外接圆的切线与 交于点 , 的中点为 . 最后, 过 作 垂线 . 证明 是 的切线.

2.斐波那契数列定义为 , 对于每个整数 , 有 . 如果一个整数数列 满足存在一个固定整数 , 使得对于所有 都有 , 那么称 是 数列. 证明如果 是一个 数列, 那么存在一个整数 , 使得

3.设 为一个正整数. 在黑板上有一个圆圈, 并在其周围写有 个非负整数. 拉菲尼亚 进行一场游戏, 游戏的操作包括擦除相邻的数 、 和 , 其中 , 然后按以下规则在原地写下新的数：如果 , 则写下 , 否则写下 .

你的目标是使得黑板上的所有数都等于 . 找出所有使得 拉菲尼亚 总能达到目标的 .

4.我们说素数 是 的, 如果存在一个次数为 的多项式 , 其系数为非负整数且小于 , 即 , 其中 , 满足以下条件：

是模 下取余的一个完全剩余系. 找出所有好的素数.注：如果对于每个满足 的整数 , 集合 中存在一个元素 , 使得

则集合 是模 下取余的一个完全剩余系.第U级1.设 是一个整数. 对于每个实数 , 我们定义 为离 最近的整数, 并且如果有两个最接近的整数, 则取较大的那个. 假设存在一个正实数 , 满足以下条件：

证明 , 其中 是黄金分割率.

2.我们说素数 是 的, 如果存在一个次数为 的多项式 , 其系数为非负整数且小于 , 即 , 其中 , 满足以下条件：

是模 下取余的一个完全剩余系. 找出所有的 素数.注：如果对于每个满足 的整数 , 集合 中存在一个元素 , 使得

则集合 是模 下取余的一个完全剩余系.3.设 为一个正整数. 在黑板上有一个圆圈, 并在其周围写有 个非负整数. 拉菲尼亚 进行一场游戏, 游戏的操作包括擦除相邻的数 、 和 , 其中 , 然后按以下规则在原地写下新的数：如果 , 则写下 , 否则写下 .

你的目标是使得黑板上的所有数都等于 . 找出所有使得 拉菲尼亚 总能达到目标的 .

4.我们都知道斐波那契数列. 然而, 一个稍微不太为人所知的数列是 -波那契数列. 在这个数列中, 我们有 , 并且对于所有 , 有

找出所有满足存在一个常数 , 使得对于每个正整数 , 都有

的正整数 .